A. 有關布朗運動和期權定價的問題，望大神解答！
布朗運動是將看起來連成一片的液體，在高倍顯微鏡下看其實是由許許多多分子組成的。液體分子不停地做無規則的運動，不斷地隨機撞擊懸浮微粒。當懸浮的微粒足夠小的時候，由於受到的來自各個方向的液體分子的撞擊作用是不平衡的。在某一瞬間，微粒在另一個方向受到的撞擊作用超強的時候，致使微粒又向其它方向運動，這樣，就引起了微粒的無規則的運動就是布朗運動。
期權定價模型（OPM）----由布萊克與斯科爾斯在20世紀70年代提出。該模型認為，只有股價的當前值與未來的預測有關；變數過去的歷史與演變方式與未來的預測不相關 。模型表明，期權價格的決定非常復雜，合約期限、股票現價、無風險資產的利率水平以及交割價格等都會影響期權價格。
B. 幾何布朗運動和分數布朗運動有什麼區別
幾何布朗運動 (GBM) (也叫做指數布朗運動) 是連續時間情況下的隨機過程，其中隨機變數的對數遵循布朗運動,[1] also called aWiener process.幾何布朗運動在金融數學中有所應用，用來在布萊克-舒爾斯定價模型中模仿股票價格。
分數布朗運動
世界是非線性的，宇宙萬物絕大部分不是有序的、線性的、穩定的，而是混沌的、非線性的、非穩定和漲落不定的沸騰世界。有序的、線性的、穩定的只存在於我們自己構造的理論宮殿，而現實宇宙充滿了分形。在股票市場的價格波動、心率及腦波的波動、電子元器件中的雜訊、自然地貌等大量的自然現象和社會現象中存在著一類近乎全隨機的現象，它們具有如下特性：在時域或空域上有自相似性和長時相關性和繼承性；在頻域上，其功率譜密度在一定頻率范圍內基本符合1/f的多項式衰減規律。因此被稱為1/f族隨機過程。Benoit Mandelbrot和Van Ness 提出的分數布朗運動(fractional Brownian motion，FBM)模型是使用最廣泛的一種，它具有自相似性、非平穩性兩個重要性質，是許多自然現象和社會現象的內在特性。分數布朗運動被賦予不同的名稱，如分形布朗運動、有偏的隨機遊走(Biased Random walk)、分形時間序列(Fractional time serial)、分形維納過程等。其定義如下：
設0<H<1，Hurst參數為H的分數布朗運動為一連續Gaussian過程，且 ，協方差為 。H=1/2時， 即為標准布朗運動 。
分數布朗運動特徵是時間相關函數C(t)≠0,即有持久性或反持久性,或者說有「長程相關性」,不失一般性，可以給出一維情形的布朗運動及分數布朗運動的定義。分數布朗運動既不是馬爾科夫過程，又不是半鞅，所以不能用通常的隨機來分析。分數布朗運動與布朗運動之間的主要區別為：分數布朗運動中的增量是不獨立的，而布朗運動中的增量是獨立的；分數布朗運動的深層次上和布朗運動的層次上它們的分維值是不同的，分數布朗運動（分形雜訊）的分維值alpha等於1/H，H為Hurst指數，而布朗運動（白雜訊）的分維值都是2。
Hurst在一系列的實證研究中發現，自然現象都遵循「有偏隨機遊走」，即一個趨勢加上雜訊，並由此提出了重標極差分析法(Rescaled Range Analysis，R/S分析)。設R/S表示重標極差，N表示觀察次數，a是固定常數，H表示赫斯特指數，在長達40多年的研究中，通過大量的實證研究，赫斯特建立了以下關系:
R/S=(aN)H
通過對上式取對數，可得：
log(R/S)=H(logN十loga)
只要找出R/S關於N的log/log圖的斜率，就可以來估計H的值。 Hurst指數H用來度量序列相關性和趨勢強度：當H=0.5時，標准布朗運動，時間序列服從隨機漫步；當H≠0.5時,C(t)≠0，且與時間無關，正是分數布朗運動的特徵。當0.5<H<1時，序列是趨勢增強的，遵循有偏隨機遊走過程；當0<H<0.5時，序列是反持續性的。可以看出，Hurst指數能夠很好地刻畫證券市場的波動特徵，將R/S分析應用於金融市場，可以判斷收益率序列是否具有記憶性，記憶性是持續性的還是反持續性的。所以，分數布朗運動是復雜系統科學體系下的數理金融學的一個合適的工具，作為對描述金融市場價格波動行為模型的維納過程的一般化、深刻化具有重要的理論與現實意義。
C. 為什麼用幾何布朗運動描述股票價格
幾何布朗運動就是物理中典型的隨機運動，其特點就是不可預測，而在股市中的短期股票價格也是不可預測。
D. 布朗運動的金融數學
將布朗運動與股票價格行為聯系在一起，進而建立起維納過程的數學模型是本世紀的一項具有重要意義的金融創新，在現代金融數學中佔有重要地位。迄今，普遍的觀點仍認為，股票市場是隨機波動的，隨機波動是股票市場最根本的特性，是股票市場的常態。
布朗運動假設是現代資本市場理論的核心假設。現代資本市場理論認為證券期貨價格具有隨機性特徵。這里的所謂隨機性，是指數據的無記憶性，即過去數據不構成對未來數據的預測基礎。同時不會出現驚人相似的反復。隨機現象的數學定義是：在個別試驗中其結果呈現出不確定性；在大量重復試驗中其結果又具有統計規律性的現象。描述股價行為模型之一的布朗運動之維納過程是馬爾科夫隨機過程的一種特殊形式；而馬爾科夫過程是一種特殊類型的隨機過程。隨機過程是建立在概率空間上的概率模型，被認為是概率論的動力學，即它的研究對象是隨時間演變的隨機現象。所以隨機行為是一種具有統計規律性的行為。股價行為模型通常用著名的維納過程來表達。假定股票價格遵循一般化的維納過程是很具誘惑力的，也就是說，它具有不變的期望漂移率和方差率。維納過程說明只有變數的當前值與未來的預測有關，變數過去的歷史和變數從過去到現在的演變方式則與未來的預測不相關。股價的馬爾科夫性質與弱型市場有效性(the weak form of market efficiency)相一致，也就是說，一種股票的現價已經包含了所有信息，當然包括了所有過去的價格記錄。但是當人們開始採用分形理論研究金融市場時，發現它的運行並不遵循布朗運動，而是服從更為一般的幾何布朗運動（geometric browmrian motion）。
E. 幾何布朗運動
問題一：幾何布朗運動的均值函數怎麼求 設布朗運動為B(t),布朗運動本身是正態分布,而且滿足分布~N（0,t）.幾何布朗運動是W（t）=exp（B（t））；這是一個很好的線性對應關系.所以均值就是（如圖）
解這個簡單的積分,就得到均值：exp（t/2） 順便方差也求了吧：exp（2t）-exp(t)
問題二：請問如何用R語言做大量次數的幾何布朗運動的模擬（參數μ，σ已知） 10分 這上網搜應該搜的到吧，比如這篇文章
股票價格行為關於幾何布朗運動的模擬--基於中國上證綜指的實證研究
,照著幾何布朗運動的公式直接寫代碼應該就行了吧，代碼邏輯都很清晰。
下面是照著這片文章模擬一次的代碼，模擬多次的話，外面再套個循環應該就行了。然後再根據均方誤差(一般用這個做准則的多)來挑最好的。
話說你的數據最好別是分鍾或者3s切片數據，不然R這速度和內存夠嗆。
N 問題三：研究衍生品的時候為什麼用幾何布朗運動來模擬股票價格的運行軌跡 其實很簡單，GBM（至少在一定程度上）符合人們對市場的觀察。例如，直觀的說，股票的價格看起來很像隨機遊走，再例如，股票價格不會為負，這樣起碼GBM比普通的布朗運動合適，因為後者是可以為負的。
再稍微復雜一點，對收益率做測試（ S(t)/S(t-1) - 1）做測試，發現，哎居然還基本是個正態分布。收益率是正態的，股價就是GBM模型
總之，就是大家做了很多統計測試，發現假設成GBM還能很好的逼近真實數值，比較接近事實。所以就用這個。
其實將精確的數學模型應用到金融的時間非常短。最早是1952年的Markowitz portfolio selection. 那個其實就是一個簡單的優化問題。後來的CAPM APT等諸多模型，也僅僅研究的是一系列證券，他們之間回報、收益率以及其他影響因素關系，沒有涉及到對股價運動的描述。
第一次提出將股價是GBM應用在嚴格模型的是black-scholes model 。在這個模型中提出了若干個假設，其中一個就是股價是GBM的。
問題四：如何確定幾何布朗運動模型中的參數 幾何布朗運動只是模型，是 exp{Bt }這樣的形式。你用模型什麼事是關鍵，確定參數，在英文中叫calibration.
如果你是用 geometric brownian motion 去模型options, 這樣的東西，是關系你的模型本身，比如black-scholes模型，關於它的參數calibration，這樣的技術其實已經很完備，經典的金融數學教科書上都有的，其主要是根據市場上option的價格反推出模型的參數的。