⑴ 數學方法在會計中的應用研究
數學在會計中的應用 會計研究，從方法論角度分為規范會計研究（NORMATIVE ACCOUNTING STUDY）和實證會計研究（POSITIVE ACCOUNTING STUDY）。傳統的規范會計研究一般採用歸納演繹等邏輯方法形成一系列規范會計實務的指導性結論，這種結論以文字描述的定性結論為主，以解決「應該是什麼」的問題。該領域思想活躍，但其結論缺乏可檢驗性是個較大問題，故對同一個問題百家爭鳴的現象司空見慣。現代逐漸成為西方國家會計研究主流的實證會計研究，強調研究者持價值中立的立場，以公開的、可重復的資料收集、分析對命題進行證實或證偽，從而達到解釋和預測會計實務的目的，以解決「是什麼」的問題。該領域特別強調用嚴格的量化方法推理和充分翔實的證據支持其結論，但在新會計思想提出方面則相對滯後。 規范會計研究和實證會計研究優勢互補，是會計研究向前發展不可或缺的「兩個車輪」。誠如，馬克思所言「一門學科成功地運用數學工具的程度是衡量其發展階段的標志」，數學方法在會計研究的上述兩個領域都有應用，其中實證研究尤為突出。 1．財務會計研究領域 隨著金融市場和現代企業制度的建立，財務會計向企業外部提供的財務信息倍受各利益關系人關注，而「財務會計信息有沒有用」這樣一個挑戰性的問題出現了。所以早期的實證會計研究主要是從有效市場假設（EMH）和資本資產定價模型（CAPM）出發，檢驗財務會計數據與其他經濟指標（特別是股價）的關系，如果財務會計指標（特別是會計收益指標）與股票價格相關，則說明會計信息的披露對證券市場的資源配置功能有效。後來這一結論被實證研究所證實，這有效地駁斥了「會計無用論」，從而奠定了實證會計研究的地位。近年來，會計政策選擇成為實證會計研究的重心，以解釋和預測企業「為什麼會選擇這種會計政策，而不採取那種會計政策」。例如：會計政策選擇與企業規模、地區分布、資本結構、分紅計劃。債務契約的關系；企業的外部利益關系人對會計信息反應的研究等，如果將上述問題給予抽象，它們都涉及「變數間的相互關系」這樣一個可以歸結為數學的問題。所以，針對上述問題，在研究隨時間變化、具有隨機性而又前後相互關聯的動態數據時，用到時間序列分析，它包括建立時間序列模型（ARIMA模型）、參數估計及譜估計等理論與方法。在討論多元變數之間是否存在線性相關時，運用多元線性回歸模型、典型相關分析和殘差檢驗。由於正態分布在會計數據中廣泛存在，例如，以任一會計科目作為總體，則不同時期該科目數額特別巨大和特別小（如為零）的比較少，則可以視之符合正態分布等，所以與正態分布相關的檢驗方法被大量使用：檢驗母體均值與原假設均值是否具有顯著差異的U一檢驗，檢驗兩個母體均值是否相等的T一檢驗，檢驗母體的方差與原假設方差是否具有顯著差異的X2一檢驗，檢驗兩個正態母體方差是否相等的F一檢驗。對不確定的母體分布採用非參數統計方法，如非參數檢驗。國外實證研究證實股票價格波動具有馬爾可夫性，即在有效的資本市場中現在的股票價格已反映了以往和現在的全部經濟信息，以前的股價行料對將來的股價波動不再具有信息價值，「將來」只與「現在」有關，而與「過去」無關。解決這方面問題的模型有：回歸一馬爾可夫模型、隨機游動模型。 2．理財、管理會計研究領域 現代理財論，總的說來是圍繞估價問題而展開的，這里所說的估價，既包括對個別「資本資產」的估價，也包括對企業總體價值的估價。如探討投資風險和投資報酬的投資組合理論（PORTFOLIA THEORY），後來該理論又發展為資本資產定價模型（CAPM），套利定價理論（ARBITRAGE PRICING THEROY）、探討資本結構與企業總價值關系的資本結構理論（CAPITAL STRUCTURE THEORY）、MM（MODIGLIANI， MILLER）理論、米勒模型（MILER MODEL）等。其中廣泛應用了微積分、線性代數及概率論與數理統計。針對創新金融工具的估價模式——期權定價模型則廣泛地應用了偏微分方程、隨機微分方程及倒向隨機微分方程等較為先進、復雜的數學理論與方法。 管理會計主要是利用信息來預測前景，參與決策。籌劃未來，控制和評價經濟活動等，保證以較少的勞動消耗和資金佔用，取得較好的經濟效益。管理會計應用的數學方法也相當廣泛，例如預測成本和銷售額時採用回歸分析，評價企業財務狀況、投資效益時採用層次分析法，預測經營狀況是採用具有吸收狀態（企業破產）的馬爾可夫鏈。另外還有「經濟定貨量」模型、「經濟生產量」模型、敏感分析、彈性分析等，則是應用微分學解決經濟問題的一些典範。管理會計中許多問題可以歸結為：數學分析中的極值問題；數學規劃中一定約束條件下的目標函數的最值問題；馬爾可夫相關理論問題；在約束條件和目標函數不能用線性方程或線性函數表示時的非線性規劃問題；在解決多階段決策問題時的動態規劃問題；解決如何經濟、合理地設置服務設施，從而以最低成本最大地滿足顧客需要問題時的排隊論問題，如人力資源選擇，機器設備選購等；導源於宏觀經濟管理並在微觀經濟管理中也有廣泛地應用的投入——產出分析問題，例如，用於多階段生產條件下生產與成本計劃的制定。 3．審計研究領域 審計主要是通過對財務會計信息的鑒證，以增強信息使用者對財務會計信息信任程度。在審計中最常用的數學方法是抽樣技術。隨著統計科學和企業規模的不斷發展，許多會計公司將統計抽樣理論與審計相結合，設計出了審計抽樣技術。對受審單位的內部控制制度有效性進行符合性測試時，採用屬性抽樣，如連續性抽樣，發現抽樣。在實質性測試中採用變數抽樣，如分層隨機抽樣及累計概率比例抽樣法（PPS），這對於減少審計風險和成本，提高審計工作效率和效果意義重大，因為嚴格遵循隨機原則抽取樣本，根據總體容量、誤差率、精確度、可信水平等因素綜合分析得到樣本容量，其分布規律更加接近於審計總體的分布規律。另外，在預測突發事件或不確定性問題時，歷史數據或既定的模型並不能完全反映它們，在這種情況下還要結合專家的專業判斷、經驗進行預測，也就是說，這一步的後驗分布又是下一步先驗分布的基礎，不斷對模型進行修正使之「動態化」，以提高預測精度。近年來，判別分析模型和聚類分析模型在國外也開始引入審計研究領域。對於定性資料的統計分析方面，LOGIT模型和PROBIT模型被廣泛應用，例如用於預測注冊會計師簽署審計意見類型等。 值得注意的是，當人們尋求用定量方法處理復雜經濟問題時，容易注重於數學模型的邏輯處理，而忽視數學模型微妙的經濟含義或解釋，實際上，這樣的數學模型看來理論性很強，其實不免牽強附會，從而脫離實際。與其如此，不如從建模型一開始就老實承認數學方法的不足，而求助於經驗判斷，將定性的方法與定量的方法相結合，最後定量。 國目前會計研究領域應用數學方法的幾點建議：（L）「硬體」方面加強資料庫建設。數學方法得以應用的前提之一是有一定規模的數據，在美國，進行定量研究可利用的數據較多，如芝加哥大學的COMPUSTAT資料庫，美國證券價值研究中心（CRSP）所建立的大型計算機資料庫等。 國尚無與之類似的相應資料庫，這使得許多會計學者從事實證研究、其它學者要想檢驗其研究結果面臨耗時費力的數據收集問題。這樣無疑增加了實證研究的成本。（2）「軟體」方面注意會計專業人員的知識結構培養。建議有關高校針對會計專業學生開設數理方法論的課程，側重互補性專業設置，另外注意先進的統計軟體（如SAS）的教學，使會計專業人員具備一定的數理工具應用能力。
⑵ 馬爾可夫模型
馬爾可夫模型是一類統計模型，廣泛應用在語音識別、詞性自動標注、音字轉換、概率文法等自然語言處理領域。這類模型以隨機過程和馬爾可夫性質為基礎，包括馬爾可夫鏈、馬爾可夫決策過程、隱馬爾可夫鏈（HMM）等模型。
馬爾可夫模型中的隨機過程是指一組隨時間變化的隨機變數，通過概率描述這些變數的規律。例如，股票市場的漲跌可以被視為隨機過程，通過模型預測未來漲跌的概率。
馬爾可夫性描述的是過去狀態不會影響未來狀態，僅當前狀態影響未來。在數學上，這意味著當前狀態包含過去所有狀態的信息。
馬爾可夫鏈是時間和狀態均為離散型的馬爾可夫過程。它描述狀態隨時間的轉移概率，通過轉移矩陣表示。
隱馬爾可夫模型（HMM）在正常馬爾可夫模型基礎上加入兩個隨機過程：狀態-狀態轉移和狀態-輸出。它用於描述含有隱含位置參數的馬爾可夫過程。
HMM主要應用於以下三種典型問題：前向概率、後向概率和平滑問題，用於計算觀察序列的概率和隱含狀態序列的最可能概率。
Viterbi演算法用於尋找最可能的隱含狀態序列，通過遞推計算獲得。
馬爾可夫模型是一類描述當前狀態僅由前一個狀態影響的統計模型。模型通過隨機過程和馬爾可夫性質來預測和處理問題。