A. 二叉樹期權定價模型 風險中性和動態復制
風險中性：
假設股票基期價格為S(0)，每期上漲幅度為U，下跌幅度為D，無風險收益率為r每年，每期間隔為t，期權行權價格為K，討論歐式看漲期權，可以做出如下股票價格二叉樹：
S(0)*U*U
/
S(0)*U
/ \
S(0) S(0)*U*D
\ /
S(0)*D
\
S(0)*D*D
通過末期股票價格和行權價格K可以計算出末期期權價值
f(uu) f(ud) f(dd)
根據風險中性假設，股票每期上漲的概率是p=[e^(rt)-d]/(u-d)
則f(u)=e^(-rt)*[f(uu)*p+f(ud)*(1-p)]
f(d)=e^(-rt)*[f(ud)*p+f(dd)*(1-p)]
f(0)=e^(-rt)*[f(u)*p+f(d)*(1-p)]
聯立：f(0)=e^(-2rt)*[f(uu)*p^2+2f(ud)*p*(1-p)+f(dd)*(1-p)^2]
B. 已知股票價格變動如下，rf=5%，100：120/90 ,以此股票為標的資產一年期的歐式期權的執行價格為X=110元，
(1)用單步二叉樹模型
對沖Δ=10/(120-90)=1/3
組合價值=1/3×120-10=30
組合價值折現值=30×e^(-5%×1)=28.54
看漲期權價格=1/3×100-28.54=4.79
（2）用買賣權平價公式：
如果一個投資組合由一隻股票和一個看跌期權組成 (S+Vp)，另一個投資組合由一個零息債券/純貼現債券（或者存入銀行存款）和一個看漲期權組成 （K+Vc），那麼這兩個投資組合的收益是一樣的。
110×e^（-5%×1）+4.79=看跌期權價格+100
看跌期權價格=9.43
C. 二叉樹期權定價模型的二叉樹思想
1：Black-Scholes方程模型優缺點：
優點：對歐式期權，有精確的定價公式；
缺點：對美式期權，無精確的定價公式，不可能求出解的表達式，而且數學推導和求解過程在金融界較難接受和掌握。
2：思想：
假定到期且只有兩種可能，而且漲跌幅均為10%的假設都很粗略。修改為：在T分為狠多小的時間間隔Δt，而在每一個Δt，股票價格變化由S到Su或Sd。如果價格上揚概率為p，那麼下跌的概率為1-p。
3：u,p,d的確定：
由Black-Scholes方程告訴我們：可以假定市場為風險中性。即股票預期收益率μ等於無風險利率r，故有：
SerΔt = pSu + (1 − p)Sd（23）
即：e^{rDelta t}=pu+(1-p)d=E(S)（24)
又因股票價格變化符合布朗運動，從而 δS N(rSΔt,σS√Δt)（25）
=>D(S) = σ2S2δt；
利用D(S) = E(S2) − (E(S))2
E(S2) = p(Su)2 + (1 − p)(Sd)2
=>σ2S2Δt = p(Su)2 + (1 − p)(Sd)2 − [pSu + (1 − p)Sd]2
=>σ2Δt = p(u)2 + (1 − p)(d)2 − [pu + (1 − p)d]2（26）
又因為股價的上揚和下跌應滿足：ud=1（27）
由（24），（26），（27）可解得：
其中：a = erδt。
4：結論：
在相等的充分小的Δt時段內，無論開始時股票價格如何。由（28）~（31）所確定的u，d和p都是常數。（即只與Δt，σ，r有關，而與S無關）。
