1. 證券價格服從漂移參數0.05，波動參數0.3的幾何布朗運動，當前價格為95，利率是4% 假設有種
後答案上默認為這個概率等於P［ln(S(0.5)／
2. 平價關系式中可以說一種資產是什麼
在20世紀70年代初，費希爾·布萊克( Fisher black)、邁倫·斯科爾斯( Myron Scholes)和羅伯特·默頓( Robert Merton)在對歐式股票期權定價研究方面取得了重大的理論突破，提出了針對歐式期權定價的模型，該模型被稱為布萊克-斯科爾斯-默頓模型(簡稱BSM模型)。
模型假設：
在推導出布萊克斯科爾斯-默頓模型時，有以下7個假設前提條件：
一是假設基礎資產的股票價格服從幾何布朗過程；二是可以賣空證券，並且可以完全運用賣空所獲得的資金；三是無交易費用和無稅收，所有證券均可無限分割；四是在期權期限內，基礎資產無期間收入(比如股票不支付股息)；五是市場不存在無風險套利機會；六是證券交易是連續進行的；七是短期無風險利率是一個常數，並對所有期限都是相同的。
微分方程：
此外，模型在推導過程中運用到了一個很重要的微分方程，具體就是
微分方程
其中，式子中的 f 表示看漲期權價格，S表示期權基礎資產的價格，r為連續復利的無風險收益率，σ為基礎資產價格百分比變化(收益率)的波動率，t是時間變數。
定價公式：
歐式看漲期權的定價公式
看漲期權定價公式
通過看漲-看跌平價關系式，可以得到看跌期權的定價公式：
看跌期權定價公式
其中：
d的計算
c與p分別代表歐式看漲、看跌期權的價格，S0是基礎資產在初始0時刻的價格，K是期權的執行價格，r是連續復利的無風險收益率，σ為基礎資產價格百分比變化(收益率)的年化波動率，T是期權合約的期限(單位是年)，N()表示累積標准正態分布的概率密度。
代碼實現基於布萊克-斯科爾斯-默頓模型計算歐式看漲期權、看跌期權定價的函數：
import numpy as np
from scipy.stats import norm
def call_BS(S,K,sigma,r,T):
'''用bs模型計算歐式看漲期權價格
S 期權基礎資產價格
K 期權執行價格
sigma 基礎資產價格百分比變化（收益率）的年化波動率
r 無風險收益率
T 期權合約剩餘年攜辯限
'''
d1 = (np.log(S/K) + (r + pow(sigma,2)/2)*T) / (sigma*np.sqrt(T))
d2 = d1 - sigma*np.sqrt(T)
return S*norm.cdf(d1) - K*np.exp(-r*T)*norm.cdf(d2)
def put_BS(S,K,sigma,r,T):
'''用bs模型計算歐式看跌期權價格
S 期權基礎資產價格
K 期權執行價格
sigma 基礎資產價格百分比變化（收益率）的年化波動率
r 無風險收益率
T 期權合約剩餘年限
'''
d1 = (np.log(S/K) + (r + pow(sigma,2)/2)*T) / (sigma*np.sqrt(T))
d2 = d1 - sigma*np.sqrt(T)
return K*np.exp(-r*T)*norm.cdf(-d2) - S*norm.cdf(-d1)
例子：
一份期限為6個月的股票期權，期權的基礎資產是工商銀行的A股股票,2018年12月28日股票收盤價是5.29元/股，期權的執行價格為6元股，無風險利率為年化4%，股票收益率的年化波動率是24%，運用布萊克斯科爾斯-默頓模型計算看漲期權看跌期權的價格。
call_BS(S=5.29, K=6, sigma=0.24, r=0.04, T=0.5)
put_BS(S=5.29, K=6, sigma=0.24, r=0.04, T=0.5)
二、看漲-看跌期權 平價關系式
具有相同執行價格與期限的歐式看跌期權、看漲期權在價格上有一個重要關系式。
1.兩個投資組合
首先，考慮以下兩個投辯瞎缺資組合在期權合約到期時的盈虧情況。A投資組合：一份歐式看漲期權和一份在T時刻到期的本金為K的零息債券；B投資組合：一份歐式看跌期權神升和一份基礎資產。這里需要假設看漲期權與看跌期權具有相同的執行價格K與相同的合約期限T。
對於A投資組合而言，零息債券在期權合約到期日(T時刻)的價值顯然是等於K，而對於看漲期權則分兩種情形討論。
情形1：如果在T時刻，基礎資產價格St>K，A投資組合中的歐式看漲期權將被執行，此時，A投資組合的價值是(St-K)+K=St；
情形2：如果在T時刻，基礎資產價格St<K，A投資組合中的歐式看漲期權就沒有價值，此時A投資組合的價值為K。
對於B投資組合而言，也分兩種情形討論。
情形1：如果在T時刻，基礎資產價格St>K，此時，B投資組合中的歐式看跌期權沒有價值，此時，B投資組合價值為St，也就是僅剩下基礎資產的價值；
情形2：如果在T時刻，基礎資產價格St<K，此時，B投資組合中的歐式看跌期權會被行使，此時B投資組合價值為(K-St)+St=K。綜合以上的分析，當St>K時，在T時刻兩個投資組合的價值均為St；當St<K時在T時刻兩個投資組合的價值均為K。換而言之，在T時刻(期權合約到期時)，兩個投資組合的價值均為max(St, K)
由於A投資組合與B投資組合中的期權均為歐式期權，在期權到期之前均不能行使，既然兩個投資組合在T時刻均有相同的收益，在期權合約的存續期內也應該有相同的價值。否則，就會出現無風險套利機會，套利者可以買入價格低的投資組合，與此同時賣空價格高的投資組合進行無風險的套利，無風險套利收益就是等於兩個組合價值的差額。
2. 抽象的數學表達式
看漲期權 + 零息債券價格 = 看跌期權 + 基礎資產價格
平價共識
代碼實現：
def call_parity(p,S,K,r,T):
'''通過平價關系式用看跌期權價格計算歐式看漲期權價格。
p：歐式看跌期權價格
S：期權基礎資產價格
K：執行價格
r：無風險收益率
T：合約剩餘期限
'''
return p + S - K * np.exp(-r * T)
def put_parity(c,S,K,r,T):
'''通過平價關系式，用看漲期權價格計算歐式看跌期權價格。
c：歐式看漲期權價格
S：期權基礎資產價格
K：執行價格
r：無風險收益率
T：合約剩餘期限
'''
return c + K * np.exp(-r * T) - S
例子：
假設當前股票價格為20元股，期權的執行價格為18元/股，無風險收益率為每年5%,3個月的歐式看漲期權價格對外報價是2.3元,3個月的歐式看跌期權對外報價是0.3元，期權價格是否合理？
call_parity(p=0.3, S=20, K=18, r=0.05, T=0.25)
==>2.523599591110134
put_parity(c=2.3, S=20, K=18, r=0.05, T=0.25)
==>0.07640040888986732
通過計算，看漲期權被低估，看跌期權則被高估，因此可以通過持有看漲期權的多頭頭寸並買入零息債券(相當於買入A投資組合)，同時持有看跌期權的空頭頭寸並賣空基礎資產（相當於賣空B投資組合），從而實現無風險套利。
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