Ⅰ 幾何布朗運動
一、正態隨機變數概率密度函數描述：
(μ為總體均數、σ為標准差）
二、布朗運動的數學描述：
價格時間函數P(x），T+t時刻的價格P(T+t)與T時刻價格P(T)的差值：P(T+t)-P(T)是一個正態隨機變數，分布的平均期望值μt，標准差為。（T>0，t>0)
重大缺陷：
1、按此價格理論上可有負值，但實際中價格不可能存在負值。
2、不論價格初值為何值，固定時間長度的價格差具有相同的正態分布，不符合常理。
三、幾何布朗運動：
把價格差改為價格的漲跌幅：可以避免直接使用布朗運動描述價格的缺陷，即為幾何布朗運動。
是一個正態隨機變數，分布的平均期望值μt，標准差為。（T>0，t>0)
******************
幾何布朗運動
幾何布朗運動的作用是用來模擬股價的變動。它的好處在於，一般形式布朗運動中取值可能為負數，而幾何布朗運動取值永遠不小於0，這一點符合股價永遠不為負的特徵。
幾何布朗運動微分形式的表述。或者稱SDE（隨機微分方程）形式：
其中的S(t)可以理解為股價。
幾何布朗運動函數形式表述：
上述式子告訴我們，可以先生成一服從的一般形式布朗運動，然後求其指數函數，最後乘以S(0)，即期初的股價，就可以得到幾何布朗運動。
補充：為何這里t的系數多出一項？具體可以參考伊藤公式。
歡迎求助 三個人的團兒！！！
Ⅱ BS鏈熸潈瀹氫環鍏寮忔帹瀵
鏈鏂囧熀浜庝腑鍥界戝﹂櫌澶у︿簬寰鋒旦鑰佸笀鐨勪笓涓氳茶В錛屽熼壌鐭沖窛鑰佸笀鐨勫叧閿鍥懼儚錛屽苟鍙傝冧腑鍥界ぞ縐戦櫌寮犻箯鑰佸笀鐨勫疄鐢ㄥ伐鍏封斺擡xcel璁＄畻妯℃澘錛屾垜浠灝嗕竴璧鋒帰緔BS鏈熸潈瀹氫環鍏寮忕殑鏍稿績鍘熺悊銆
緇忛獙鍏寮忎笌鏈熸湜鍊
鏈熸潈浠鋒牸涓庤偂紲ㄤ環鏍礆紙Spot Price錛夈佹嘗鍔ㄧ巼(Volatility)浠ュ強鍓╀綑鏈夋晥鏈(T)緔у瘑鐩稿叧銆傚綋鏈熸潈鐨勮屾潈浠鋒牸(Strike Price)絳変簬鑲＄エ鏈熸湯浠鋒牸(Stock Price at Expiration)錛屾湡鏉冧環鍊煎湪涓鍊(Option Price at Expiration)杈懼埌50%鐨勬傜巼銆傜畝鑰岃█涔嬶紝鏈熸潈鐨勬湡鏈涗環鍊間笌褰撳墠鏈熸潈浠鋒牸涓鑷達紝鍗
Option Price = E[Stock Price at Expiration]
榪堝悜BS鍏寮
瑕佺悊瑙BS鍏寮忥紝鎴戜滑棣栧厛闇瑕佺悊瑙ｅ嚑涓鍏抽敭鏁板︽傚康銆備緥濡傦紝榪炵畫澶嶅埄鐨勫井鍒嗚〃杈懼紡(Continuous Compounding)錛屼互鍙婃嘲鍕掔駭鏁板睍寮(Taylor Series Expansion)銆傚綋鏃墮棿(t)瓚嬭繎浜0鏃訛紝鍗曞埄鍏寮(Simple Interest Formula)涓庡井鍒嗘柟紼(Differential Equation)鍙樺緱灝や負閲嶈併傚姞鍏ュ竷鏈楄繍鍔(Brownian Motion)鍚庯紝鎴戜滑鍒╃敤浼婅棨寮曠悊(Ito's Lemma)鏋勫緩寰鍒嗚〃杈懼紡:
df(t) = 渭dt + 蟽dB
BS寰鍒嗘柟紼嬬殑璇炵敓
閫氳繃涓婅堪鏁板﹀伐鍏鳳紝鎴戜滑寰楀埌钁楀悕鐨凚S寰鍒嗘柟紼嬶紝瀹冨睍紺轟簡鏈熸潈浠鋒牸濡備綍闅忚偂浠峰拰鏃墮棿婕斿彉錛
dC = rCdt + 蟽C蟽dW
閫氳繃璧勯噾鐨勬椂闂翠環鍊艱冭檻錛屾垜浠寮曞叆甯傚満涓鎬ф潯浠訛紝鍗蟲棤椋庨櫓鍒╃巼(r)鍜屾棤椋庨櫓璧勪駭鍥炴姤鐜囩浉絳夈傚寲綆鍚庯紝钁楀悕鐨凚S鍏寮忚癁鐢燂細
C = S * N(d1) - K * e^(-rt) * N(d2)
鍏朵腑錛N(d1)鍜N(d2)鏄鏍囧噯姝ｆ佸垎甯冪殑緔縐姒傜巼瀵嗗害鍑芥暟錛d1鍜d2涓鴻＄畻涓鐨勫叧閿鍙傛暟銆
涓寸晫鐐逛笌鍙傛暟璁＄畻
奼傝ВBS鏈熸潈瀹氫環鏃訛紝鍏抽敭鍦ㄤ簬鎵懼埌涓寸晫鐐廣傚綋d1涓0鏃訛紝鏈熸潈涓哄鉤浠鋒湡鏉冿紱鑰屽綋d2涓0鏃訛紝鏈熸潈涓虹函綺圭殑娉㈠姩鎬т氦鏄撱傚叿浣撹＄畻濡備笅錛
- 鐪嬫定鏈熸潈錛d1 = (ln(S/K) + (r + 0.5蟽^2)T) / (蟽鈭歍)
- 鐪嬭穼鏈熸潈錛d2 = (ln(S/K) + (r - 0.5蟽^2)T) / (蟽鈭歍)
閫氳繃璋冩暣鍏寮忎腑鐨勫弬鏁幫紝鎴戜滑鍙浠ュ緱鍒板疄闄呯殑鏈熸潈浠鋒牸銆
瀹炶返搴旂敤錛欵xcel涓鐨勮＄畻
瀵逛簬瀹為檯鎿嶄綔鑰咃紝BS鏈熸潈瀹氫環鍏寮忓湪Excel涓閫氳繃鍏寮忓疄鐜幫紝鍙闇杈撳叆鑲＄エ褰撳墠浠鋒牸銆佽屾潈浠楓佸埌鏈熸椂闂村拰娉㈠姩鐜囷紝鍗沖彲寰楀埌綺劇『鐨勬湡鏉冨畾浠楓傝繖涓嶄粎鍦ㄩ噾鋙嶅垎鏋愪腑鍏鋒湁騫挎硾鐨勫簲鐢錛屼篃鏂逛究鎶曡祫鑰呯悊瑙ｅ拰鎺屾彙銆
Ⅲ 伊藤過程是什麼
伊藤清（日文假名：いとう きよし，日語羅馬字：Itō Kiyoshi，生於1915年9月7日日本三重縣北勢町）是日本數學家，日本學士院院士。西方文獻中他的姓氏常寫為Itô。
伊藤清研究隨機過程，他在1944年和1946年的兩份著作立下隨機積分和隨機微分方程的理論基礎，所以他被視為隨機分析的創立者。他的理論被應用於很多不同領域，包括自然科學和經濟學，例如金融數學中期權定價用的布萊克—斯科爾斯模型。諾貝爾經濟學獎獲獎者邁倫·斯科爾斯遇到伊藤時，一溜煙地向他握手，稱贊他的理論。從這個插曲可以明白伊藤的成就不僅對數學，對社會科學也帶來很大影響。
他在東京帝國大學開始學習數學，被概率論的微積分吸引。他感興趣於安德雷·柯爾莫哥洛夫和保羅·萊維的工作，和後來杜布的正規化概念。
1940年他發表了《論緊群上的概率分布》(On the probability distribution on a compact group) 。在這門學科的發展中這是重要著作。
1945年他獲得博士學位。1945年後他感興趣於隨機過程，特別是布朗運動。
1952年他在東京大學任教授，講解他的概率論。之後有訪問普林斯頓、孟買、奧胡斯大學和康奈爾大學，直到1979年退休。
伊藤清的工作獲得許多肯定，他的獲獎包括1987年的沃爾夫獎和1998年的京都基礎科學賞。
他把數學和美麗的形式連系起來。在一文中引用莫扎特的音樂和科隆大教堂，他說這些都啟發他創造他的公式：「比如莫扎特的音樂連那些不懂樂理的人也被深刻感染；科隆大教堂使不懂基督教的遊客也為之驚嘆。但是，數學構造之美，對表達邏輯法則的數值公式不明白的話，卻不能欣賞到。」
他凝聚這些邏輯在伊藤引理中。
Ⅳ 什麼是ITO定理
伊藤過程
控制論
的發明人維納在1923年指出，布朗運動在數學上是一個隨機過程，提出了用「隨機微分方程」來描述，因此人們也把布朗運動稱為維納過程；
日本
數學家伊藤發展建立了帶有布朗運動干擾項的隨機微分方程，
dx(t)=μ（t,x）dt+σ（t,x）dB
σ（t,x）是干擾強度，μ（t,x）是漂移率
該方程描寫的過程是伊藤過程。伊藤過程可看成為一般化的維納過程，它直接把布朗運動理解為隨機干擾，從而賦予了布朗運動最一般的意義。
布朗運動是隨機漲落的典型現象, 一般地說，許許多多的宏觀觀測，都要受到布朗運動的限制. 法國經濟學家Bachelier L把股價的變動理想化為布朗運動,在此基礎上，經濟學家把伊藤過程方程用於描寫股票價格)（!）行為過程的一種模式，為更確切地描寫股票價格的行為過程，伊藤過程方程被修正為
dS(t)/S(t)=μdt+σdB
其中σ為股票價格波動率、 μ為股票價格的預期收益率,人們把它稱為股價方程，它是一個隨機微分方程.由伊藤過程描述的股價方程是一個正向的隨機微分方程，從確定的S(0)=S0出發，根據布朗運動
的隨機變數B(t)在0-t之間的形態，來推斷軌線的統計行為.