⑴ 考慮同一種股票的期貨合約，看漲期權和看跌期權交易，若X=T,如何證明看漲期權價格等於看跌期權價格呢
看漲期權與看跌期權之間的平價關系
（一）歐式看漲期權與看跌期權之間的平價關系
1．無收益資產的歐式期權
在標的資產沒有收益的情況下，為了推導c和p之間的關系，我們考慮如下兩個組合：
組合A：一份歐式看漲期權加上金額為Xe-r(T-t) 的現金
組合B：一份有效期和協議價格與看漲期權相同的歐式看跌期權加上一單位標的資產
在期權到期時，兩個組合的價值均為max(ST,X)。由於歐式期權不能提前執行，因此兩組合在時刻t必須具有相等的價值，即：
c+Xe-r(T-t)=p+S（1.1）
這就是無收益資產歐式看漲期權與看跌期權之間的平價關系（Parity）。它表明歐式看漲期權的價值可根據相同協議價格和到期日的歐式看跌期權的價值推導出來，反之亦然。
如果式（1.1）不成立，則存在無風險套利機會。套利活動將最終促使式（1.1）成立。
2．有收益資產歐式期權
在標的資產有收益的情況下，我們只要把前面的組合A中的現金改為D+Xe-r(T-t) ，我們就可推導有收益資產歐式看漲期權和看跌期權的平價關系：
c+D+Xe-r(T-t)=p+S（1.2）
（二）美式看漲期權和看跌期權之間的關系
1．無收益資產美式期權。
由於P>p,從式（1.1）中我們可得：
P>c+Xe-r(T-t)-S
對於無收益資產看漲期權來說，由於c=C，因此：
P>C+Xe-r(T-t)-S
C-P<S-Xe-r(T-t)（1.3）
為了推導出C和P的更嚴密的關系，我們考慮以下兩個組合：
組合A：一份歐式看漲期權加上金額為X的現金
組合B：一份美式看跌期權加上一單位標的資產
如果美式期權沒有提前執行，則在T時刻組合B的價值為max(ST,X)，而此時組合A的價值為max(ST,X)+ Xe-r(T-t)-X 。因此組合A的價值大於組合B。
如果美式期權在T-t 時刻提前執行，則在T-t 時刻，組合B的價值為X，而此時組合A的價值大於等於Xe-r(T-t) 。因此組合A的價值也大於組合B。
這就是說，無論美式組合是否提前執行，組合A的價值都高於組合B，因此在t時刻，組合A的價值也應高於組合B，即：
c+X>P+S
由於c=C，因此，
C+X>P+S
結合式（1.3），我們可得：
S-X<C-P<S-Xe-r(T-t)(1.4)
由於美式期權可能提前執行，因此我們得不到美式看漲期權和看跌期權的精確平價關系，但我們可以得出結論：無收益美式期權必須符合式（1.4）的不等式。
2．有收益資產美式期權
同樣，我們只要把組合A的現金改為D+X，就可得到有收益資產美式期權必須遵守的不等式：
S-D-X<C-P<S-D-Xe-r（T-t） （1.5）