Ⅰ 几何布朗运动
一、正态随机变量概率密度函数描述：
(μ为总体均数、σ为标准差）
二、布朗运动的数学描述：
价格时间函数P(x），T+t时刻的价格P(T+t)与T时刻价格P(T)的差值：P(T+t)-P(T)是一个正态随机变量，分布的平均期望值μt，标准差为。（T>0，t>0)
重大缺陷：
1、按此价格理论上可有负值，但实际中价格不可能存在负值。
2、不论价格初值为何值，固定时间长度的价格差具有相同的正态分布，不符合常理。
三、几何布朗运动：
把价格差改为价格的涨跌幅：可以避免直接使用布朗运动描述价格的缺陷，即为几何布朗运动。
是一个正态随机变量，分布的平均期望值μt，标准差为。（T>0，t>0)
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几何布朗运动
几何布朗运动的作用是用来模拟股价的变动。它的好处在于，一般形式布朗运动中取值可能为负数，而几何布朗运动取值永远不小于0，这一点符合股价永远不为负的特征。
几何布朗运动微分形式的表述。或者称SDE（随机微分方程）形式：
其中的S(t)可以理解为股价。
几何布朗运动函数形式表述：
上述式子告诉我们，可以先生成一服从的一般形式布朗运动，然后求其指数函数，最后乘以S(0)，即期初的股价，就可以得到几何布朗运动。
补充：为何这里t的系数多出一项？具体可以参考伊藤公式。
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Ⅲ 伊藤过程是什么
伊藤清（日文假名：いとう きよし，日语罗马字：Itō Kiyoshi，生於1915年9月7日日本三重县北势町）是日本数学家，日本学士院院士。西方文献中他的姓氏常写为Itô。
伊藤清研究随机过程，他在1944年和1946年的两份著作立下随机积分和随机微分方程的理论基础，所以他被视为随机分析的创立者。他的理论被应用于很多不同领域，包括自然科学和经济学，例如金融数学中期权定价用的布莱克—斯科尔斯模型。诺贝尔经济学奖获奖者迈伦·斯科尔斯遇到伊藤时，一溜烟地向他握手，称赞他的理论。从这个插曲可以明白伊藤的成就不仅对数学，对社会科学也带来很大影响。
他在东京帝国大学开始学习数学，被概率论的微积分吸引。他感兴趣於安德雷·柯尔莫哥洛夫和保罗·莱维的工作，和后来杜布的正规化概念。
1940年他发表了《论紧群上的概率分布》(On the probability distribution on a compact group) 。在这门学科的发展中这是重要著作。
1945年他获得博士学位。1945年后他感兴趣於随机过程，特别是布朗运动。
1952年他在东京大学任教授，讲解他的概率论。之后有访问普林斯顿、孟买、奥胡斯大学和康奈尔大学，直到1979年退休。
伊藤清的工作获得许多肯定，他的获奖包括1987年的沃尔夫奖和1998年的京都基础科学赏。
他把数学和美丽的形式连系起来。在一文中引用莫扎特的音乐和科隆大教堂，他说这些都启发他创造他的公式：「比如莫扎特的音乐连那些不懂乐理的人也被深刻感染；科隆大教堂使不懂基督教的游客也为之惊叹。但是，数学构造之美，对表达逻辑法则的数值公式不明白的话，却不能欣赏到。」
他凝聚这些逻辑在伊藤引理中。
Ⅳ 什么是ITO定理
伊藤过程
控制论
的发明人维纳在1923年指出，布朗运动在数学上是一个随机过程，提出了用“随机微分方程”来描述，因此人们也把布朗运动称为维纳过程；
日本
数学家伊藤发展建立了带有布朗运动干扰项的随机微分方程，
dx(t)=μ（t,x）dt+σ（t,x）dB
σ（t,x）是干扰强度，μ（t,x）是漂移率
该方程描写的过程是伊藤过程。伊藤过程可看成为一般化的维纳过程，它直接把布朗运动理解为随机干扰，从而赋予了布朗运动最一般的意义。
布朗运动是随机涨落的典型现象, 一般地说，许许多多的宏观观测，都要受到布朗运动的限制. 法国经济学家Bachelier L把股价的变动理想化为布朗运动,在此基础上，经济学家把伊藤过程方程用于描写股票价格)（!）行为过程的一种模式，为更确切地描写股票价格的行为过程，伊藤过程方程被修正为
dS(t)/S(t)=μdt+σdB
其中σ为股票价格波动率、 μ为股票价格的预期收益率,人们把它称为股价方程，它是一个随机微分方程.由伊藤过程描述的股价方程是一个正向的随机微分方程，从确定的S(0)=S0出发，根据布朗运动
的随机变量B(t)在0-t之间的形态，来推断轨线的统计行为.